倍角公式和半角公式
倍角公式和半角公式是三角函数中的核心恒等式，它们在简化角度倍数或半数的三角函数表达式方面发挥着重要作用。以下将详细介绍这些公式。
倍角公式（以二倍角为主）
正弦倍角公式：
\(\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta\)
余弦倍角公式（三种形式）：
\(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta\)
正切倍角公式：
\(\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}\)
推导思路：
这些倍角公式是通过使用和角公式（如 \(\\sin(A+B)\) 和 \(\\cos(A+B)\)）推导出来的。通过令 \(A = B = \theta\)，我们可以得到二倍角公式。例如，正弦倍角公式的推导过程如下：
\(\sin 2\theta = \sin(\theta+\theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta = 2\sin\theta\cos\theta\)
半角公式
正弦半角公式：
\(\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}\)
余弦半角公式：
\(\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}\)
正切半角公式（三种形式）：
\(\tan\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1 + \cos\theta}} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}\)
推导思路：
半角公式可以通过余弦倍角公式推导出来。例如，由余弦倍角公式 \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\)，我们可以令 \(\alpha = \frac{\theta}{2}\) 来得到半角公式。例如正弦半角公式的推导如下：\(\cos\theta = 1 - 2\sin^2\frac{\theta}{2} \implies \sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}\)。