数学期望怎么算
数学期望是概率论中一个极为重要的概念，它反映了随机变量取值的平均水准。无论是离散型随机变量还是连续型随机变量，数学期望的计算都有着明确的公式。
对于离散型随机变量，数学期望是所有可能取值与其对应概率的加权和。每一个可能的取值$x_i$都乘以一个概率值$P(X=x_i)$，然后将这些乘积进行求和，就得到了数学期望$E(X)$。用公式表示就是：
\[E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)\]
例如，我们常见的掷骰子游戏，每个面的数字是1到6，每个数字出现的概率都是$\frac{1}{6}$。那么，数学期望$E(X)$就是这些数字的平均值：
\[E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5\]
对于连续型随机变量，数学期望则是通过积分来计算的。随机变量的每一个取值$x$都乘以一个概率密度函数$f(x)$的值，然后对这个乘积进行积分，得到的就是数学期望$E(X)$。用公式表示就是：
\[E(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \cdot f(x) dx\]
以区间$[0, 1]$上均匀分布的随机变量为例，其概率密度函数是均匀的，那么其数学期望为：
\[E(X) = \int_{0}^{1} x dx = \frac{1}{2}\]而对于指数分布的概率密度函数$f(x) = λe^{-λx}$，其数学期望为$\frac{1}{λ}$。数学期望具有线性性质，即对于任意常数a和b，有：\[E(aX + b) = aE(X) + b\]以及对于任意随机变量X和Y，有：\[E(X + Y) = E(X) + E(Y)\]。对于更复杂的情况如函数的期望，也遵循特定的计算公式。综上可得：离散型随机变量的数学期望计算公式为：\ [E(X)=\sum_{i} x_i P(X = x_i)]连续型随机变量的数学期望计算公式为：\ [E(X)=\int_{- \infty}^{+ \infty} x f(x) dx]。数学期望作为概率论的核心概念之一，在统计学、金融等领域都有着广泛的应用。
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